Question

7．定义：对于抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b²=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x²-2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将黄金抛物线y=2x²-2x+2沿对称轴向下平移3个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]．

Answer 1

分析 （1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；
（2）将ac=b²代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0我不等于0两种情讨论即可；
（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；
②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；

解答 解：（1）答：如y=x²，y=x²-x+1，y=x²+2x+4等；
（2）依题意得b²=ac，
∴△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²，
∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点，
当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；
（3）
①抛物线y=2x²-2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y=2x²-2x-1，
②存在．


如图：
若BQ=AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，
P点的坐标为：（0，-1），（1，-1），
此时，△AOB≌△BQP；
若BQ=BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，
令2x²-2x-1=$\frac{1}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，
∴P点的坐标为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
此时，△AOB≌△PQB；
综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，-1），（1，-1），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是“新定义”题型，考查学生对新知识的迅速领悟能力，同时本题还考查了二次函数与x轴交点个数的决定因素、函数图象的平移、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性等知识点，题目新颖，命题视角比较独特，难度虽然不大，但却是一道考查学生基本数学素质的一道好题．对于最后一问，寻找全等三角形，首先要清楚哪些点是固定的，哪些点只能在某些位置，然后符合要求的点就很容易确定．