Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：BC-CF=

2

2

CG；
（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1，利用“SAS”证明△ABG≌△ADF，得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，而EF=BE+DF，所以EF=EG，再根据“SSS”证明∴△AEG≌△AEF，得到∠EAG=∠EAF，则∠EAF=∠DAF+∠ABE，然后利用∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，即可得到∠EAF=45°；
（2）过点G作GH⊥DC于H，如图2，由（1）中∠AEB=∠AEF，根据角平分线定义得到∠EFG=∠CFG，有三角形外角性质得∠BEF=∠EFC+∠ECF，则2∠AEB=2∠EFC+90°，所以∠AEB=∠EFC+45°，而∠AEB=∠EFC+∠EGF，所以∠EGF=45°，于是可判断△FAG为等腰直角三角形，得到FA=FG，∠AFG=90°；接着根据等角的余角相等得到∠DAF=∠HFG，于是可根据“AAS”证明△ADF≌△FHG，得到AD=FH，DF=GH，易得DF=CH=GH，则可判断△CGH为等腰直角三角形，得到CH=

2

2

GC，所以DC-CF=DF=

2

2

CG，即有BC-CF=

2

2

CG；
（3）作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如图3，DF=CF=2，由（2）得CH=GH=2，则CQ=GQ=2，BQ=2，设BE=x，则EF=BE+DF=x+2，EC=4-x，在△CEF中利用勾股定理的（4-x）²+2²=（x+2）²，解得x=

4

3

，则EQ=BQ-BE=

2

3

，然后在Rt△GQE中根据勾股定理可计算出EG．

解答：（1）证明：延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，

AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF

，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵EF=BE+DF，
∴EF=EG，
在△AEG和△AEF中，

AE=AE AG=AF EG=EF

，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，
∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，
∴∠EAF=45°；
（2）证明：过点G作GH⊥DC于H，如图2，
由（1）中∠AEB=∠AEF，
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG=∠CFG，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴2∠AEB=2∠EFC+90°，即∠AEB=∠EFC+45°，
而∠AEB=∠EFG+∠EGF，
∴∠EGF=45°，
∵∠GAF=45°，
∴△FAG为等腰直角三角形，
∴FA=FG，∠AFG=90°，
∴∠AFD+∠HFG=90°，
而∠AFD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠HFG，
在△ADF和△FHG中，

∠D=∠FHG ∠DAF=∠HFG AF=FG

，
∴△ADF≌△FHG（AAS），
∴AD=FH，DF=GH，
而AD=DC，
∴DC=FH，
∴DF=CH=GH，
∴△CGH为等腰直角三角形，
∴CH=

2

2

GC，
∴DC-CF=DF=CH=

2

2

CG，
∴BC-CF=

2

2

CG；
（3）解：作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如图3，
∵F是DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=2，
由（2）得CH=GH=2，
∴CQ=GQ=2，
∴BQ=2，
设BE=x，则EF=BE+DF=x+2，EC=4-x，
在△CEF中，∵CE²+CF²=EF²，
∴（4-x）²+2²=（x+2）²，
解得x=

4

3

，
∴EQ=BQ-BE=2-

4

3

=

2

3

，
在Rt△GQE中，EG=

GQ2+EQ2

=

22+( 2 3 )2

=

2 10

3

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质；会利用三角形全等解决线段和角相等的问题；能运用勾股定理计算线段的长．