Question

2．如图，已知点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点．
（1）设A的横坐标为m，试用m、k表示B的坐标．
（2）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（3）若△ABP的面积为3，求该双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据点P是AC的中点得到点A的横坐标是m，结合反比例函数图象上点的坐标特征来求点B的坐标；
（2）根据点P的坐标得到点P是BD的中点，所以由“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到四边形ABCD是菱形；
（3）由△ABP的面积为3，知BP•AP=6．根据反比例函数 y=kx中k的几何意义，知本题k=OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值．

解答 解：（1）∵A的横坐标为m，AC⊥x轴于C，P是AC的中点，
∴点B的横坐标是2m．
又∵点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）上，
∴B（2m，$\frac{k}{2m}$）．

（2）连接AD、CD、BC；
∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，
∴AC⊥BD；
∵A（m，$\frac{k}{m}$），B（2m，$\frac{k}{2m}$），
∴P（m，$\frac{k}{2m}$），
∴PD=PB，
又AP=PC，
∴四边形ABCD是菱形；

（3）∵△ABP的面积为 $\frac{1}{2}$•BP•AP=3，
∴BP•AP=6，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又∵点A、B都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC=DP=BP，
∴k=OC•AC=BP•2AP=12．
∴该双曲线的解析式是：y=$\frac{12}{x}$

点评 主要考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．