Question

【题目】如图所示，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC)是方程的两个根，且A点坐标为(-6,0)．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE.设AE的长为m，△CEF的面积为s，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝，m的取值范围是0＜m＜8；（3）存在．当m＝4时，S有最大值，S最大值为8，点E的坐标为（2，0），△BCE为等腰三角形．

【解析】

（1）解方程求得：，根据题意，得点坐标为，点坐标为，由点坐标为，把三点坐标代入解析式列出方程组求解得的值即可；

（2）过点过点F作FG⊥AB，垂足为G，由，得出△BEF∽△BAC，利用相似比求出EF， sin∠FEG＝sin∠CAB＝， S＝S△BCES△BFE=，求出S与m之间的函数关系式；

（3）利用配方法将（2）中S与m之间的函数关系式写出顶点式，可求S有最大值时，m的值，从而确定点E的坐标和△BCE的形状．

（1）方程的两个根为2和8.

由于点B在x正半轴上，点C在y轴正半轴上，且，所以，，故，点坐标为.

因为点坐标为，所以

解得：，.

故此二次函数的表达式为.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自变量m的取值范围是0＜m＜8，

故答案为：S＝，m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴点E的坐标为（2，0）．

∴点C在线段BE的垂直平分线上，CE=CB,

∴△BCE为等腰三角形，

故答案为：存在，S最大值＝8，E为（2，0），△BCE为等腰三角形．