Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒

2

cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,菱形的判定

专题：动点型

分析：连接PP′交CQ于D，根据菱形的对角线互相垂直平分可得PP′⊥CQ，CD=DQ，用t表示出CD，过点P作PO⊥AC于O，可得四边形CDPO是矩形，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠A=45°，从而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根据矩形的对边相等列出方程求解即可．

解答：解：如图，连接PP′交CQ于D，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥CQ，CD=DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴CD=

1

2

CQ=

1

2

（4-t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD=PO，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴PO=

2

2

AP，
∵点P的运动速度是每秒

2

cm，
∴PO=

2

2

×

2

t=tcm，
∴

1

2

（4-t）=t，
解得t=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出矩形和等腰直角三角形是解题的关键．