【题目】如图,已知,二次函数的图像交轴正半轴于点,顶点为,一次函数的图像交轴于点,交轴于点,的正切值为.
(1)求二次函数的解析式与顶点坐标;
(2)将二次函数图像向下平移个单位,设平移后抛物线顶点为,若,求的值.
【答案】(1)二次函数解析式为y=x2-2x,顶点P的坐标是(1,-1);(2)m=.
【解析】
(1)先根据题中所给条件求出A点坐标,再利用待定系数法求出函数解析式,将求出的函数解析式化为顶点式,即可得到顶点P的坐标;(2)用含m的代数式表示出P′的坐标,用含m的代数式表示S△ABP′和S△BCP′,根据S△ABP′=S△BCP′求出m的值即可.
(1)∵一次函数解析式为y=x-3,
∴OC=3,
∵tan∠OCA=,
∴OA=2,
∴A点坐标为(2,0),将A点坐标代入函数解析式得4+2b=0,
解得b=﹣2,
∴二次函数解析式为y=x2-2x,
将二次函数解析式化为顶点式,得y=(x-1)2-1,
∴顶点P的坐标为(1,﹣1).
(2)如图所示,其中l为抛物线的对称轴,D为l与x轴的交点,
当y=0时,x-3=0,解得x=6,
∴B点坐标为(6,0),
∴AB=6-2=4,
在Rt△BOC中,BC==,
∵P′是将二次函数图像向下平移个单位后得到的抛物线的顶点,
∴P′的坐标为(1,﹣1-m),∴DP′=1+m
∴S△ABP′=×AB×DP′=×4×(1+m)=2+2m,
当P′在直线y=x-3的左侧时,
S△BCP′=S△BOC-(S梯形ODP′C+S△BDP′)==-3m,
∵S△ABP′=S△BCP′,
∴2+2m=-3m,解得m=,
当P′在直线y=x-3的右侧时,
S△BCP′=(S梯形ODP′C+S△BDP′)-S△BOC==+3m,
∵S△ABP′=S△BCP′,
∴2+2m=﹣+m,解得m=,
综上,m=或.
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【题目】已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.
(1)求证:PB=QC;
(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的长度.
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【题目】已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=kx+n(k≠0)的图象如图所示,下面有四个推断:
①二次函数y1有最大值;
②二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称
③当x=﹣2时,二次函数y1的值大于0
④过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与y1,y2的图象的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,m的取值范围是m<﹣3或m>﹣1.
以上推断正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【题目】有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质.小彤根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.
下面是小彤探究的过程,请补充完整:
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
y | … | m | 0 | ﹣1 | 3 | 2 | … |
则m的值为 ;
(3)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出了图象的一部分,请根据剩余的点补全此函数的图象;
(4)观察图象,写出该函数的一条性质 ;
(5)若函数y=的图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),且x1<3<x2<x3,则y1、y2、y3之间的大小关系为 ;
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【题目】如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M,N同时从A点出发,M沿A→C,N沿折线A→B→C,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C时,另一个动点也随之停止移动,移动时间记为t秒.连接MN.
(1)求直线BC的解析式;
(2)移动过程中,将△AMN沿直线MN翻折,点A恰好落在BC边上点D处,求此时t值及点D的坐标;
(3)当点M,N移动时,记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F。
(1)求证:∠FEB=∠ECF
(2)BC= 12, DE=8 求 EA的长。
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【题目】某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息:
①该产品90天内日销售量(m件)与时间(第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表:
时间(第x天) | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日销售量(m件) | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表:
时间(第x天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
销售价格(元/件) | x+60 | 100 |
(1)求m关于x的一次函数表达式;
(2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大?最大利润是多少?【提示:每天销售利润=日销售量×(每件销售价格-每件成本)】
(3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果.
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