Question

如图，边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，点F在BC延长线上，且∠CAF=∠CFA，AF交CD于点E，交CD于点P．作直线DF．
（1）求的值；
（2）证明：E是AF的中点；
（3）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，
∵∠ADP=∠FCP=90°，
又∵∠APD=∠FPC，
∴△ADP∽△FCP．
∴．
又∵∠CAF=∠CFA，且AD=AB=BC=1，
∴FC=AC=．
∴．

（2）连接CE，由已知可得，AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
∴CE⊥AF．
又∵∠CAF=∠CFA，
∴△ACF是等腰三角形．
∴AE=FE，
∴E是AF的中点．

（3）直线DF与⊙O相交．
∵在Rt△DCF中，CF＞DC，
∴∠CDF＞∠CFD．
而∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠CDF＞45°．
连接OD，则∠ODC=45°．
∴∠ODF=∠ODC+∠CDF＞45°+45°=90°．
∴点O到直线DF的距离小于圆的半径．
∴直线DF与⊙O相交．
分析：（1）由AD∥BF得△ADP∽△FCP，则DP：PC=AD：CF=AD：AC=1：；
（2）连接CE，则CE⊥AF．根据等腰三角形性质得证；
（3）连接OD，则∠ODC=45°．因为FC＞CD，所以∠FDC＞45°，得∠ODF＞90°．
根据垂线段最短知点O到DF的距离小于半径OD，故判定为相交．
点评：此题考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法等知识点，综合性较强，有相当难度．