Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（　　）

①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；

②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；

③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；

④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．

A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据圆的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和公式，依次分析题干所列四种情况下，结论的正误.

解：①如图1，∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠OBA＝β，∠AOC＝180°﹣β，

∵OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB＝γ

∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即：β+γ+γ＝180°

∴γ＝90°﹣β，

∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，

∴180°﹣β+α+α＝180°

∴β＝2α

∴γ＝90°﹣α

故①正确；

②如图2，∠OAC＝∠OCA＝α，∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠OBC＝γ

∵α：β：γ＝1：4：3，

∴∠BAD＝β﹣α＝3α，∠ABD＝β＝4α，∠ADB＝∠OBC+∠ACB＝γ+γ﹣α＝5α

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°

∴3α+4α+5α＝180°

∴α＝15°

∴∠ACB＝2α＝30°，

故②正确．

③如图3，∵OA＝OC＝OB

∴∠OCA＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝β，∠OBC＝∠OCB＝γ

∴2（α+β+γ）＝180°

∴α+β+γ＝90°

故③不正确

④如图3，∠BAC+∠ABC＝2α+β+γ≠α+γ﹣2β

故④不正确

故选：A．