Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，过D作DE⊥AC，过B作BE⊥AB，DE，BE交于点 E．已知BC＝3，AB＝5．

（1）证明：△EFB∽△ABC．

（2）若CD＝1，请求出ED的长．

（3）连结AE，记CD＝a，△AFE与△EBF面积的差为b．若存在实数t1，t2，m（其中t1≠t2），当a＝t1或a＝t2时，b的值都为m．求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理，可求证.（2）过点B作BG⊥ED于G，可得四边形BGDC是矩形，进而可得△EBG∽△ABC，从而求得ED的长．（3）根据△EBG∽△ABC，可得BE，再根据DE∥BC，可得△AFD∽△ABC，即得到AF，从而得到m的取值范围．

解：（1）∵DE⊥AC，BE⊥AB，∠C＝90°，

∴DE∥BC，∠EBF＝∠ACB＝90°，

∴∠EFB＝∠ABC，

∴△EFB∽△ABC；

（2）如图，过点B作BG⊥ED于G，

则∠BGE＝∠BGD＝∠EDC＝∠C＝90°，

∴四边形BGDC是矩形，

∴BG＝CD＝1，BC＝GD＝3，

∵△EFB∽△ABC，

∴∠BEF＝∠CAB，

∴△EBG∽△ABC，

∴，即，

解得，

则；

（3）∵CD＝a，AC＝4，

∴BG＝a，AD＝4﹣a，

∵△EBG∽△ABC，

∴，即，

解得，

∵DE∥BC，

∴△AFD∽△ABC，

∴，即，

解得，

则，

∴

，

∴m的取值范围是．