Question

【题目】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，再将的坐标代入一次函数表达式即可解得

分别求出点P在x轴的位置即可.

解：（1）直线与轴、轴分别交于两点，则点的坐标分别为，

将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故函数的表达式为：，

令，则或3，故点；

（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，

函数顶点坐标为，点，

将的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：，

当时， ，

故点；

（3）①当点在轴上方时，如下图2，

∵，则，

过点作，设，

则，

由勾股定理得：，

，解得： （负值已舍去），

则，

则；

②当点在轴下方时，

则；

故点的坐标为或．