Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于），两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）点为抛物线对称轴上一点，连接，若，求点的坐标；

（3）已知，若是抛物线上一个动点（其中），连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

（4）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），对称轴；（2）；（3）面积有最大值是，；（4）存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，或或.

【解析】

（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以证明CD=BD，即可求y的值；

（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入边即可；

（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，- ）或M（-2，-）；

解：（1）将点代入，

可得，

；

对称轴；

（2）如图1：过点作轴于，作轴于，

设点，

，

在中，，

在中，，

在中，

，

，

；

（3）如图2：过点作轴于点，过点作直线轴于，过点作于，

，

四边形是矩形，

，

，

，

当时，面积有最大值是，

此时；

（4）存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，

设，

①四边形是平行四边形时，

②四边形时平行四边形时，

，

；

③四边形时平行四边形时，

，

，

；

综上所述：或或；