【题目】如图,矩形中,与相交于点,,将沿折叠,点的对应点为,连接交于点,且,在边上有一点,使得的值最小,此时( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形,利用折叠的性质得到BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a.解直角△BGM,求出BM,再表示DM,由△ADM∽△GBM,求出a=2,再证明CF=CD=2.作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.建立平面直角坐标系,得出B(3,2),B′(3,-2),E(0,),利用待定系数法求出直线B′E的解析式,得到H(1,0),然后利用两点间的距离公式求出BH=4,进而求出=.
如图,设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,tan∠ABD=,
∴BD=AC==2a,∠ABD=60°,
∴△ABE、△CDE都是等边三角形,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a,
∵将△ABD沿BD折叠,点A的对应点为F,
∴BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a,
在△BGM中,∵∠BMG=90°,∠GBM=30°,BG=2,
∴GM=BG=1,BM=GM=,
∴DM=BD-BM=2a-,
∵矩形ABCD中,BC∥AD,
∴△ADM∽△GBM,
∴,即,
∴a=2,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2,AD=BC=6,BD=AC=4,
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°,
∴△ADF是等边三角形,
∵AC平分∠DAF,
∴AC垂直平分DF,
∴CF=CD=2,
作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.
如图,建立平面直角坐标系,
则A(3,0),B(3,2),B′(3,-2),E(0,),
易求直线B′E的解析式为y=-x+,
∴H(1,0),
∴BH==4,
∴=.
故选:B.
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【题目】如图,是大小相等的边长为1的正方形构成的网格,,,,均为格点.与交于点.
[1].的值为_________.
[2].现只有无刻度的直尺,请在给定的网格中作出一个格点三角形.要求:①三角形中含有与大小相等的角;②可借助该三角形求得的三角函数值.请并在横线上简单说明你的作图方法.____________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于),两点,与轴交于点,连接.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点为抛物线对称轴上一点,连接,若,求点的坐标;
(3)已知,若是抛物线上一个动点(其中),连接,求面积的最大值及此时点的坐标.
(4)若点为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:表示“很喜欢”,表示“喜欢”,表示“一般”,表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取_________名学生进行统计调查,扇形统计图中,类所对应的扇形圆心角的大小为__________
(2)将条形统计图补充完整
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人?
各类学生人数条形统计图各类学生人数扇形统计图
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【题目】若一个两位数十位、个位上的数字分别为,我们可将这个两位数记为,易知;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如.
(基础训练)
(1)解方程填空:
①若,则______;
②若,则______;
③若,则______;
(能力提升)
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则一定能被______整除,一定能被______整除,+++6一定能被______整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
(探索发现)
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______;
②设任选的三位数为(不妨设),试说明其均可产生该黑洞数.
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【题目】建国七十周年到来之际,海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动,为了使活动更具有针对性,学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,要求学生在“教育.科技.国防.农业.工业”五类书籍中,选取自己最想读的一种(必选且只选一种),学校将收集到的调查结果适当整理后,绘制成如图所示的不完整的统计图,请根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)如果海庆中学共有1500名学生,请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名?
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【题目】通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况,在七、八、九年级的学生中,分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查(每人只能选一项),调查结果的部分数据如下表(图)所示,其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人,九年级最喜欢排球的人数为10人.
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 | 排球 | 篮球 | 踢毽 | 跳绳 | 其他 |
人数(人) | 7 | 8 | 14 |
| 6 |
请根据以上统计表(图)解答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少人?
(2)补全统计表和统计图.
(3)该校有学生1800人,学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子,学校现有124个毽子,能否够用?请说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC=BC,CD是⊙O的直径,与AB相交于点G,过点D作EF∥AB,分别交CA、CB的延长线于点E、F,连接BD.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:BD2=ACBF.
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