【题目】若一个两位数十位、个位上的数字分别为,我们可将这个两位数记为,易知;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如.
(基础训练)
(1)解方程填空:
①若,则______;
②若,则______;
③若,则______;
(能力提升)
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则一定能被______整除,一定能被______整除,+++6一定能被______整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
(探索发现)
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______;
②设任选的三位数为(不妨设),试说明其均可产生该黑洞数.
【答案】(1)①2.②4;③7;(2)11;9;10.;(3)①495;②495
【解析】
(1)①根据,结合已知可得关于x的方程,解方程即可得;
②根据题意可得关于y的方程,解方程即可得;
③由及四位数的类似公式可得关于t的方程,解方程即可得;
(2)根据分别对、、按此表示方法进行整理即可求得答案;
(3)①若选的数为325,则用532-235=297,然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案;
②当任选的三位数为时,根据规则第一次运算后得,结果为99的倍数,由于,故,继而确定出a-c=2,3,4,5,6,7,8,9,从而可得第一次运算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891,对这些数字根据规则继而进行运算即可求得答案.
(1)①∵,
∴若,则,
∴,
故答案为:2;
②若,则,
解得,
故答案为:4;
③由及四位数的类似公式得
若,
则,
∴100t=700,
∴,
故答案为:7;
(2)∵,
∴则一定能被 11整除,
∵,
∴一定能被9整除,
∵
,
∴一定能被10整除,
故答案为:11;9;10;
(3)①若选的数为325,则用532-235=297,以下按照上述规则继续计算,
,
,
,
,
故答案为:495;
②当任选的三位数为时,第一次运算后得:
,
结果为99的倍数,由于,故,
∴,又,
∴,
∴,3,4,5,6,7,8,9,
∴第一次运算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891,
再让这些数字经过运算,分别可以得到:
,,,,…故都可以得到该黑洞数495.
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【题目】解不等式组,请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得_________;
(Ⅱ)解不等式②,得_________;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为_________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点坐标为,点在边上从点运动到点,以为边作正方形,连,在点运动过程中,请探究以下问题:
(1)的面积是否改变,如果不变,求出该定值;如果改变,请说明理由;
(2)若为等腰三角形,求此时正方形的边长.
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【题目】问题背景:如图,将绕点逆时针旋转60°得到,与交于点,可推出结论:
问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
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【题目】如图所示,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,,对称轴为直线,则下列结论:①;②;③;④是关于的一元二次方程的一个根.其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】某市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范市”.某市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人, ,并补全条形统计图;
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
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【题目】如图,点在直线上,点的横坐标为,过作,交轴于点,以为边,向右作正方形,延长交轴于点;以为边,向右作正方形,延长交轴于点;以为边,向右作正方形延长交轴于点;按照这个规律进行下去,点的横坐标为_____(结果用含正整数的代数式表示)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作圆O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD、CD,CD交圆O于点E.
(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;
(2)求证:ND=NE;
(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.
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