【题目】如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作圆O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD、CD,CD交圆O于点E.
(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;
(2)求证:ND=NE;
(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.
【答案】(1)四边形AMCD是菱形,理由见解析;(2)证明见解析;(3)BC=2.
【解析】
(1)证明四边形AMCD的对角线互相平分,且∠CNM=90°,可得四边形AMCD为菱形;
(2)可证得∠CMN=∠DEN,由CD=CM可证出∠CDM=∠CMN,则∠DEN=∠CDM,结论得证;
(3)证出△MDC∽△EDN,由比例线段可求出ND长,再求MN的长,则BC可求出.
(1)四边形AMCD是菱形,理由如下:
∵M是Rt△ABC中AB的中点,
∴CM=AM,
∵CM为⊙O的直径,
∴∠CNM=90°,
∴MD⊥AC,
∴AN=CN,
∵ND=MN,
∴四边形AMCD是菱形;
(2)∵四边形CENM为⊙O的内接四边形,
∴∠CEN+∠CMN=180°,
∵∠CEN+∠DEN=180°,
∴∠CMN=∠DEN,
∵四边形AMCD是菱形,
∴CD=CM,
∴∠CDM=∠CMN,
∴∠DEN=∠CDM,
∴ND=NE;
(3)∵∠CMN=∠DEN,∠MDC=∠EDN,
∴△MDC∽△EDN,
∴,
设DN=x,则MD=2x,由此得,
解得:x=或x=﹣(不合题意,舍去),
∴,
∵MN为△ABC的中位线,
∴BC=2MN,
∴BC=2.
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【题目】若一个两位数十位、个位上的数字分别为,我们可将这个两位数记为,易知;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如.
(基础训练)
(1)解方程填空:
①若,则______;
②若,则______;
③若,则______;
(能力提升)
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则一定能被______整除,一定能被______整除,+++6一定能被______整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
(探索发现)
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______;
②设任选的三位数为(不妨设),试说明其均可产生该黑洞数.
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【题目】如图,在中,为斜边的中点,连接,点是边上的动点(不与点重合),过点作交延长线交于点,连接,下列结论:
①若,则;
②若,则;
③和一定相似;
④若,则.
其中正确的是_____.(填写所有正确结论的序号)
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【题目】如图,中,,一同学利用直尺和圆规完成如下操作:
①以点为圆心,以为半径画弧,角于点;分别以点、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交点,作射线;
②以点为圆心,以适当的长为半径画弧,交于点,交的延长线于点;分别以点、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点,作直线交的延长线于点,交射线于点.
请你观察图形,根据操作结果解答下列问题;
(1)线段与的大小关系是__________.
(2)过点作交的延长线于点,若,,求的值.
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【题目】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC=BC,CD是⊙O的直径,与AB相交于点G,过点D作EF∥AB,分别交CA、CB的延长线于点E、F,连接BD.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:BD2=ACBF.
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【题目】小慧家与文具店相距,小慧从家出发,沿笔直的公路匀速步行来到文具店买笔记本,停留因家中有事,便沿着原路匀速跑步返回家中.
小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少?
请你画出这个过程中,小慧离家的距离与时间的函数图象;
根据图象回答,小慧从家出发后多少分钟离家距离为
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【题目】如图,以的直角边为直径的交斜边于点,过点作的切线与交于点,弦与垂直,垂足为.
求证:为的中点;
(2)若的面积为,两个三角形和的外接圆面积之比为,求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比.
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【题目】图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角∠CDE为12°,支架AC长为0.8m,∠ACD为80°,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m).
(参考数据:sin12°=cos78°≈0.21,sin68°=cos22°≈0.93,tan68°≈2.48)
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