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【题目】如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作圆OAC于点N,延长MND,使NDMN,连接ADCDCD交圆O于点E

(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;

(2)求证:NDNE

(3)DE2EC3,求BC的长.

【答案】(1)四边形AMCD是菱形,理由见解析;(2)证明见解析;(3)BC2

【解析】

(1)证明四边形AMCD的对角线互相平分,且∠CNM90°,可得四边形AMCD为菱形;

(2)可证得∠CMN=∠DEN,由CDCM可证出∠CDM=∠CMN,则∠DEN=∠CDM,结论得证;

(3)证出△MDC∽△EDN,由比例线段可求出ND长,再求MN的长,则BC可求出.

(1)四边形AMCD是菱形,理由如下:

MRtABCAB的中点,

CMAM

CM为⊙O的直径,

∴∠CNM90°,

MDAC

ANCN

NDMN

∴四边形AMCD是菱形;

(2)∵四边形CENM为⊙O的内接四边形,

∴∠CEN+CMN180°,

∵∠CEN+DEN180°,

∴∠CMN=∠DEN

∵四边形AMCD是菱形,

CDCM

∴∠CDM=∠CMN

∴∠DEN=∠CDM

NDNE

(3)∵∠CMN=∠DEN,∠MDC=∠EDN

∴△MDC∽△EDN

DNx,则MD2x,由此得

解得:xx=﹣(不合题意,舍去)

MN为△ABC的中位线,

BC2MN

BC2

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3)北京时间201941021时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为卡普雷卡尔黑洞数

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④若,则

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