【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.
(3)已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.
【答案】(1) ;(2)点M为线段C1B中点时,S矩形MFOE最大,理由见解析;(3) 点P和点Q的坐标为P1(4,3),Q1(4,5)或P2(﹣2,0),Q2(﹣2,2)或P3(2,2),Q3(2,0)或P4(﹣2,0),Q4(2,0).
【解析】
(1)将A(﹣1,0),B(2,0)分别代入解析式即可解答
(2)令x=0,y=﹣1,得出C的坐标,再利用对称轴的性质得出C1,将B(2,0),C1(0,1)分别代入直线C1B解析式,得出直线C1B的解析式,设M(t,),则 E(t,0),F(0,),根据矩形的面积公式即可解答
(3)根据题意可分情况讨论①当C1C为边,则C1C∥PQ,C1C=PQ,设P(m,m+1),Q(m,),求出m即可解答;②C1C为对角线,∵C1C与PQ互相平分,C1C的中点为(0,0),PQ的中点为(0,0),设P(m,m+1),则Q(﹣m,),求出m即可
(1)将A(﹣1,0),B(2,0)分别代入抛物线y=ax2+bx﹣1中,得,解得:
∴该抛物线的表达式为:.
(2)在中,令x=0,y=﹣1,∴C(0,﹣1)
∵点C关于x轴的对称点为C1,
∴C1(0,1),设直线C1B解析式为y=kx+b,将B(2,0),C1(0,1)分别代入得,解得,
∴直线C1B解析式为,设M(t,),则 E(t,0),F(0,)
∴S矩形MFOE=OE×OF=t()=﹣(t﹣1)2+,
∵﹣<0,
∴当t=1时,S矩形MFOE最大值=,此时,M(1,);即点M为线段C1B中点时,S矩形MFOE最大.
(3)由题意,C(0,﹣1),C1(0,1),以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,分以下两种情况:
①C1C为边,则C1C∥PQ,C1C=PQ,设P(m,m+1),Q(m,),
∴|()﹣(m+1)|=2,解得:m1=4,m2=﹣2,m3=2,m4=0(舍),
P1(4,3),Q1(4,5);P2(﹣2,0),Q2(﹣2,2);P3(2,2),Q3(2,0)
②C1C为对角线,∵C1C与PQ互相平分,C1C的中点为(0,0),
∴PQ的中点为(0,0),设P(m,m+1),则Q(﹣m,)
∴(m+1)+()=0,解得:m1=0(舍去),m2=﹣2,
∴P4(﹣2,0),Q4(2,0);
综上所述,点P和点Q的坐标为:P1(4,3),Q1(4,5)或P2(﹣2,0),Q2(﹣2,2)或P3(2,2),Q3(2,0)或P4(﹣2,0),Q4(2,0).
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【题目】某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向A区域时,所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠;方式二:同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同,所购买物品享受8折优惠,其它情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一,则享受9折优惠的概率为 ;
(2)若顾客选择方式二,请用树状图或列表法列出所有可能,并求顾客享受8折优惠的概率.
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【题目】如图所示,二次函数(,,是常数,)的图象的一部分与轴的交点在与之间,对称轴为直线.下列结论:①;②;③;④(为实数);⑤当时,.其中,正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】抛物线与轴交于点,,与轴交于点,顶点为,直线与轴交于点.
(Ⅰ)求顶点的坐标;
(Ⅱ)如图,设点为线段上一动点(点不与点、重合),过点作轴的垂线与抛物线交于点.求的面积最大值;
(Ⅲ)点在线段上,当时,求点的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
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【题目】为落实立德树人的根本任务,加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业(一名研究生,一名本科生)、历史专业(一名研究生、一名本科生)的高校毕业生中选聘教师,在政治思想审核合格的条件下,假设每位毕业生被录用的机会相等
(1)若从中只录用一人,恰好选到思政专业毕业生的概率是 :
(2)若从中录用两人,请用列表或画树状图的方法,求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,是大小相等的边长为1的正方形构成的网格,,,,均为格点.与交于点.
[1].的值为_________.
[2].现只有无刻度的直尺,请在给定的网格中作出一个格点三角形.要求:①三角形中含有与大小相等的角;②可借助该三角形求得的三角函数值.请并在横线上简单说明你的作图方法.____________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于),两点,与轴交于点,连接.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点为抛物线对称轴上一点,连接,若,求点的坐标;
(3)已知,若是抛物线上一个动点(其中),连接,求面积的最大值及此时点的坐标.
(4)若点为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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