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【题目】如图,已知抛物线yax2+bx1x轴的交点为A(10)B(20),且与y轴交于C.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)C关于x轴的对称点为C1M是线段BC1上的一个动点(不与BC1重合)MEx轴,MFy轴,垂足分别为EF,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.

(3)已知点P是直线yx+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以CC1PQ为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.

【答案】(1) (2)M为线段C1B中点时,S矩形MFOE最大,理由见解析;(3) P和点Q的坐标为P1(43)Q1(45)P2(20)Q2(22)P3(22)Q3(20)P4(20)Q4(20).

【解析】

1)将A(10)B(20)分别代入解析式即可解答

2)令x0y=﹣1,得出C的坐标,再利用对称轴的性质得出C1,将B(20)C1(01)分别代入直线C1B解析式,得出直线C1B的解析式,设M(t),则 E(t0)F(0),根据矩形的面积公式即可解答

3)根据题意可分情况讨论①当C1C为边,则C1CPQC1CPQ,设P(mm+1)Q(m),求出m即可解答;②C1C为对角线,∵C1CPQ互相平分,C1C的中点为(00)PQ的中点为(00),设P(mm+1),则Q(m),求出m即可

(1)A(10)B(20)分别代入抛物线yax2+bx1中,得,解得:

∴该抛物线的表达式为:.

(2)中,令x0y=﹣1,∴C(0,﹣1)

∵点C关于x轴的对称点为C1

C1(01),设直线C1B解析式为ykx+b,将B(20)C1(01)分别代入得,解得

∴直线C1B解析式为,设M(t),则 E(t0)F(0)

S矩形MFOEOE×OFt()=﹣(t1)2+

∵﹣0

∴当t1时,S矩形MFOE最大值=,此时,M(1);即点M为线段C1B中点时,S矩形MFOE最大.

(3)由题意,C(0,﹣1)C1(01),以CC1PQ为顶点的四边形为平行四边形,分以下两种情况:

C1C为边,则C1CPQC1CPQ,设P(mm+1)Q(m)

|()(m+1)|2,解得:m14m2=﹣2m32m40()

P1(43)Q1(45)P2(20)Q2(22)P3(22)Q3(20)

C1C为对角线,∵C1CPQ互相平分,C1C的中点为(00)

PQ的中点为(00),设P(mm+1),则Q(m)

(m+1)+()0,解得:m10(舍去)m2=﹣2

P4(20)Q4(20)

综上所述,点P和点Q的坐标为:P1(43)Q1(45)P2(20)Q2(22)P3(22)Q3(20)P4(20)Q4(20).

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