Question

【题目】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点.

（Ⅰ）求顶点的坐标；

（Ⅱ）如图，设点为线段上一动点（点不与点、重合），过点作轴的垂线与抛物线交于点.求的面积最大值；

（Ⅲ）点在线段上，当时，求点的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1，-4）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）（，-）

【解析】

（Ⅰ）利用待定系数法把，，代入二次函数中，即可算出b、c的值，得到函数解析式，再用配方法求得顶点的坐标；

（Ⅱ）先根据B、D两点坐标利用待定系数法确定直线BD的解析式，设点P的坐标为（m，n）,再根据，得出关于点P的横坐标m的函数关系式，利用配方法即可得出结论；

（Ⅲ）根据B、C、D三点的坐标，利用两点间的距离公式分别求出CD、BD、CB的平方，再利用勾股定理的逆定理确定BCD为直角三角形，求出tan∠CDB的值，设点Q的坐标为（n，2n-6），再根据已知条件得出tan∠QCE=3，从而列出n的方程，解方程即可确定Q点坐标．

（Ⅰ）∵抛物线y=x2-bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），

∴；

解得：

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3=（x-1）2-4；

∴顶点的坐标为：（1，-4）；

（Ⅱ）设直线BD解析式为y=kx+b，

∵，D（1，-4）．

∴；

解得：

∴直线BD解析式为y=2x-6，

设点P的坐标为（m，n）,

∵点为线段上一动点（点不与点、重合），

∴点P的坐标为：（m，2m-6）（1）；

∵点是过点作轴的垂线与抛物线的交点.

∴点F的坐标为：(m，m2-2m-3)；

∵点P在点F的上方，

∴PF=（2m-6）-（m2-2m-3)=-m2+4m-3

设直线PF交x轴于点G，过点D作DH⊥PF于H,

∵

=-m2+4m-3=-．

∴是关于m的二次函数；

∵a=-1，

∴当m=2时，的面积有最大值，最大值为1．

（Ⅲ）点Q的坐标为（，-）

连接BC、CD，由点、、（1，-4）；

根据两点间的距离公式可得：，，

；

∴

∴∠DCB=90°

在Rt中，tan∠CDB=

∵∠CDB=∠QCE，∴tan∠QCE =3，

设点Q的坐标为（n，2n-6）

过点Q作QM⊥CE于M,

在Rt中，tan∠QCE==3，∴n=

∴点Q的坐标为（，-）