Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？
（2）若AB=4，AD=

27

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先利用已知得出∠AFD=∠C，进而求出△ADF与△DEC相似；
（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的性质求出AF的长．

解答：解：（1）△ADF∽△DEC；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，得出∠AFD=∠C是解题关键．