Question

已知，如图在直角坐标系内，矩形OABC，AB=4，BC=2．
（1）写出A、B、C三点坐标；
（2）在x轴上存在点M，使得△MAB为等腰三角形，你能写出符合要求的点M的坐标吗？（直接写出坐标即可，不必写出过程）；
（3）请你探索一下，在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰直角三角形？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质以及AB，BC的长度即可求出A、B、C三点坐标；
（2）在x轴上存在点M，使得△MAB为等腰三角形，分三种情况分别讨论即MA=MB，MA=AB，MB=AB时求出M的坐标即可；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰直角三角形，由（2）可知当M在AB的垂直平分线上时，则△MAB为等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴OC=AB=4，BC=AO=2，
∴A（0，2），B（4，2），C（4，0）；
（2）在x轴上存在点M，使得△MAB为等腰三角形，
理由如下：（如图所示）
当MA=MB，作AB的垂直平分线交x轴于M₃，
∵AB=4，
∴OM₃=2，
∴M₃（2，0）；
当AB=MB时，以B为圆心AB长为半径画圆交x轴于M₂，M₅，
设OM₂=x，则CM₂=4-x，
在Rt△BM₂C中，BM₂=4，BC=2，
∴（4-x）²+2²=4²，
∴x=4+2

3

或4-2

3

，
∴M₂（4-2

3

，0），M₅（4+2

3

，0）
同理当AM=AB时，则M₁（-2

3

，0），M₄（2

3

，0）
∴一共有5个点M，使得△MAB为等腰三角形；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰直角三角形，
理由如下：
显然A，B不能为直角顶点，所以只能是M为直角顶点，
由（2）可知当AM=BM时，则△AMB是等腰直角三角形，即M₃（2，0）．

点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用、解一元二次方程以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用分类讨论的数学方法解决几何问题，特别是找M的位置要充分利用圆的性质做到不重不漏，题目的综合性较强，难度中等．