Question

求一切实数k，使关于x的方程：5x²-5kx+66k-1=0的两根均为正整数．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,奇数与偶数,数的整除性

专题：探究型

分析：假设方程有两个正整数根，设为x₁、x₂．根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=k，x₁•x₂=13k+

k-1

5

，由x₁、x₂都是正整数可得k、13k+

k-1

5

都是正整数，进而得到

k-1

5

是整数，设

k-1

5

=n，则有k=5n+1，n为整数，由x₁+x₂=5n+1得到正整数x₁与x₂一奇一偶，从而有x₁•x₂是偶数，与x₁•x₂=66n+13是奇数矛盾，故假设不成立，因而满足要求的实数k不存在．

解答：解：假设方程有两个正整数根，设为x₁、x₂．
根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=-

-5k

5

=k，x₁•x₂=

66k-1

5

=13k+

k-1

5

．
∵x₁、x₂都是正整数，∴k、13k+

k-1

5

都是正整数，
∴

k-1

5

是整数．
设

k-1

5

=n，则有k=5n+1，n为整数，
∴x₁+x₂=5n+1，n为整数．
∵5n+1（n为整数）是奇数，
∴正整数x₁与x₂一奇一偶，
∴x₁•x₂是偶数，
与x₁•x₂=13（5n+1）+n=66n+13是奇数矛盾．
∴假设不成立．
∴满足要求的实数k不存在．

点评：本题考查了一元二次方程正整数解的问题，用到了根与系数的关系、奇数与偶数、数的整除性等知识，而运用反证法是解决本题的关键．