Question

7．⊙O半径为4$\sqrt{3}$cm，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，则∠A=60°或120°．

Answer 1

分析 连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，由垂径定理得出BD=CD=BC=6cm，由等腰三角形的性质得出∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，由三角函数求出∠BOD=60°，得出∠BOC=120°，分两种情况讨论，由圆周角定理即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图1所示：
则∠ODB=90°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6cm，∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°-60°=120°；
综上所述：∠A的度数为60°或120°；
故答案为：60°或120°．

点评 本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度适中，求出∠BOC是解决问题的关键，注意分类讨论．