Question

17．⊙O的弦CD垂直于它的直径AB于M，且AM：MB=1：4，则BC：CA=2．

Answer 1

分析 如图所示：由垂径定理可知：MC=DM，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$．设AM=x，则MB=4x．由相交玄定理可知：CM²=AM•MB，从而可求得MC=2x，然后证明△ACM∽△CBM，由相似三角形的性质可知：$\frac{BC}{AC}=\frac{BM}{CM}=\frac{4x}{2x}$=2．

解答 解；如图所示：

∵AB⊥CD，AB为圆O的直径，
∴MC=DM，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$．
设AM=x，则MB=4x．
由相交弦定理可知：MC•MD=AM•BM，即CM²=AM•MB．
∴MC=2x．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴∠ACB=∠AMC．
∵$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴∠ACM=∠CBM．
∴△ACM∽△CBM．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BM}{CM}=\frac{4x}{2x}$=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理的应用，求得MC长是解题的关键．