Question

18．观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
（1）写出第5个式子：（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁶-1．
（2）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1． （其中n为正整数）
（3）根据（2）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值=2⁶⁴-1，并求出它的个位数字=5．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式得出第5个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．

解答 解：（1）写出第5个式子：（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁶-1；
（2）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；（其中n为正整数）
（3）根据（2）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³）=2⁶⁴-1，并求出它的个位数字=5，
故答案为：（1）（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1），x⁶-1；（2）xⁿ⁺¹-1；（3）2⁶⁴-1，5

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．