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【题目】如果P 是正方形ABCD 内的一点,且满足∠APBDPC180°,那么称点P 是正方形 ABCD 对补点”.

1)如图1,正方形ABCD 的对角线ACBD 交于点M,求证:点M 是正方形ABCD 的对补点;

2)如图2,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A11),C33.除对角线交点外,请再写出一个该正方形的对补点的坐标,并证明.

【答案】(1)证明见解析;

(2)对补点如:N( ).证明见解析

【解析】试题分析:(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到∠DMCAMB90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线yx1x3)或直线y=-x41x3)上

除(22)外的任意点均可,通过证明△DCN≌△BCN,得到∠CNDCNB,利用邻补角的性质即可得出结论.

试题解析:

1

∵四边形ABCD是正方形,

ACBD

DMCAMB90°.

DMCAMB180°

M是正方形ABCD的对补点.

2)对补点如:N ).

说明:在直线yx1x3)或直线y=-x41x3)上

除(22)外的任意点均可.

证明(方法一):

连接AC BD

由(1)得此时对角线的交点为(22).

设直线AC的解析式为:ykxb

把点A11),C33)分别代入,

可求得直线AC的解析式为:yx

则点N 是直线AC上除对角线交点外的一点,且在正方形ABCD.

连接ACDNBN

四边形ABCD是正方形,

DCBCDCNBCN

又∵ CNCN

DCN≌△BCN

CNDCNB

CNBANB180°

CNDANB180°

N是正方形ABCD的对补点.

证明(方法二):

连接AC BD

由(1)得此时对角线的交点为(22).

设点N是线段AC上的一点(端点AC及对角线交点除外),

连接ACDNBN

四边形ABCD是正方形,

DCBCDCNBCN

又∵ CNCN

DCN≌△BCN

CNDCNB

CNBANB180°

CNDANB180°

N是正方形ABCD除对角线交点外的补点.

设直线AC的解析式为:ykxb

把点A11),C33)分别代入,可求得直线AC的解析式为:yx

1x3范围内,任取一点均为该正方形的对补点,如N ).

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