Question

【题目】如图，∠AOB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）

A.β﹣α＝30°B.β﹣α＝40°C.β+α＝180°D.β+α＝200°

Answer 1

【答案】D

【解析】

作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，可得MP+PQ+QN最小，根据轴对称的性质可得∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形内角和及外角性质即可得答案.

如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，

∴NQ=NQ′，PM=PM′，∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，

∴MP+PQ+QN最小，

∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，

∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．

故选：D．