Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB>∠ABC，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点I.

(1)若∠ABE＝25°，求∠DIC的度数；

(2)在(1)的条件下，图中互余的角有多少对？列举出来；

(3)过I点作IH⊥BC，垂足为H，试问∠BID与∠HIC相等吗？为什么？

(4)G是AD延长线上一点，过G点作GP⊥BC，垂足为P，试探究∠G与∠ABC，∠ACB之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）12对，祥见解析；（3）相等，理由见解析（4）∠G＝(∠ACB－∠ABC)，理由见解析.

【解析】

（1）先由角平分线的定义求出∠ABC＝50°，再由三角形内角和和角平分线的定义可知∠IAC＋∠ICA=65°，然后由三角形外角的性质解答即可；

（2）根据互余两个角的和等于90°，结合（1）中求得的结论求解即可；

（3）由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，又由IH⊥BC得∠HIC＝90°－∠BCF从而可证BID与∠HIC相等；

（4）由三角形外角的性质可得∠PDG=∠ABC+∠BAD=90°+∠ABC-∠ACB，由直角三角形两直角互余可得∠G＝90°-∠PDG，整理可得∠G＝(∠ACB－∠ABC).

解：(1)∵BE平分∠ABC，∠ABE＝25°，

∴∠ABC＝50°.

∴∠BAC＋∠ACB＝130°.

∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，

∴∠IAC＝∠BAC，∠ICA＝∠ACB，

∴∠IAC＋∠ICA＝ (∠BAC＋∠ACB)＝×130°＝65°，

∴∠DIC＝∠IAC＋∠ICA＝65°.

(2)由(1)知∠DIC与∠ABE互余，则∠DIC与∠EBC互余．

又∵∠DIC＝∠AIF，

∴∠AIF与∠ABE互余，∠AIF与∠EBC互余．

同理，∠BID与∠ACF，∠BCF互余；∠AIE与∠ACF，∠BCF互余；∠CIE与∠BAD，∠CAD互余；∠BIF与∠BAD，∠CAD互余，一共有12对互余的角．

(3)由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，∵IH⊥BC，

∴∠HIC＝90°－∠BCF.∴∠BID＝∠HIC.

(4) ∠G＝(∠ACB－∠ABC).

理由：

∵AI平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∴∠PDG=∠ABC+∠BAD

=∠ABC+∠BAC

=∠ABC+(180°-∠ABC-∠ACB)

=90°+∠ABC-∠ACB.

∵GP⊥BC，

∴∠G＝90°-∠PDG

＝90°-(90°+∠ABC-∠ACB)

=(∠ACB－∠ABC)．