Question

11．菱形ABCD的边长为1，∠C=60°，E、F分别在BC、CD上，且EF⊥CD，则△AEF面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 设CF=x，则DF=1-x，CE=2x，BE=1-2x，可知0＜x≤$\frac{1}{2}$，计算出设S₁=S_△ADF+S_△ABE+S_△CEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2x²-3x+2），（0＜x≤$\frac{1}{2}$），根=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2x²-3x+2）（据当x=$\frac{1}{2}$时，S₁由最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，根据S_△AEF=S_菱形ABCD-（S_△ADF+S_△ABE+S_△CEF），所以S_△AEF的最大值=${S}_{菱形ABCD}-\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：设CF=x，则DF=1-x，
∵∠C=60°，且EF⊥CD，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2x，
∴BE=1-2x，
可知0＜x≤$\frac{1}{2}$，
∵菱形ABCD中，∠C=60°，
∴∠B=∠D=120°，
设S₁=S_△ADF+S_△ABE+S_△CEF
=$\frac{1}{2}$AD•DF•sin∠D+$\frac{1}{2}$AB•BE•sin∠B+$\frac{1}{2}$CE•CFsin∠C
=$\frac{1}{2}$×1×（1-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×1×（1-2x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×2x•x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2x²-3x+2）（0＜x≤$\frac{1}{2}$）
∴当x=$\frac{1}{2}$时，S₁由最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵S_△AEF=S_菱形ABCD-（S_△ADF+S_△ABE+S_△CEF）
∴S_△AEF的最大值=${S}_{菱形ABCD}-\frac{\sqrt{3}}{4}$=2×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查菱形的性质，解决本题的关键是求出S_△ADF+S_△ABE+S_△CEF的最小值，即可求出△AEF面积的最大值．