Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，经过A（0，-4），B（x₁，0），C（x₂，0）三点，且|x₂-x₁|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及|x₂-x₁|=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，经过点A（0，-4），
∴c=-4
又∵由题意可知，x₁、x₂是方程-$\frac{2}{3}$x²+bx-4=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$b，x₁x₂=6
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=$\frac{9}{4}$b²-24
∴$\frac{9}{4}$b²-24=25
解得b=±$\frac{14}{3}$，当b=$\frac{14}{3}$时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=-$\frac{14}{3}$．
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
∴抛物线的顶点（-$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）即为所求的点D．
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与
抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4的交点，
∴当x=-3时，y=-$\frac{2}{3}$×（-3）²-$\frac{14}{3}$×（-3）-4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上

点评 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．