Question

如图，△ABC中，BA=BC=10，AC=12，∠ABC、∠BAC的角平分线交于I点，求线段AI的长．

Answer 1

解：延长BI交AC于D，过I作IE⊥AB于E．
∵BA=BC，BI平分∠ABC，
∴ID⊥AC，AD=DC=6，
∵AI平分∠BAC，
∴IE=ID，
∴△AID≌△AIE（HL），
∴AE=AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD==8，
设ID=x，则BI=8-x，
∵BE=AB-AE=4，
在Rt△IEB中由勾股定理得4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
在Rt△IEA中由勾股定理得AI==．
分析：延长BI交AC于D，过I作IE⊥AB于E．根据角平分线的性质和公共边可证△AID≌△AIE（HL），由全等三角形的性质可得AE=AD=6，再运用勾股定理即可求得线段AI的长．
点评：本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，难度中等．