Question

4．在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF，若点F为AD的中点，则$\frac{AB}{BC}$=（　　）

• A． 1：$\sqrt{3}$
• B． 2：$\sqrt{3}$
• C． 1：$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，设EF=x，则EC=2x，FC=3x，利用射影定理求出DF=$\sqrt{3}$x，DC=$\sqrt{6}$x，继而得出BC=AD=2DF=2$\sqrt{3}$x，AB=DC=$\sqrt{6}$x，即可求得$\frac{AB}{BC}$的值．

解答 解：∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，
设EF=x，则EC=2x，FC=3x，
∵CF⊥BD，
∴DF²=EF•CF=x•3x=3x²，DC²=CE•FC=2x•3x=6x²，
∴DF=$\sqrt{3}$x，DC=$\sqrt{6}$x，
∴BC=AD=2DF=2$\sqrt{3}$x，AB=DC=$\sqrt{6}$x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}x}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，射影定理，解答本题的关键是根据射影定理得出BC和AB的值．