Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与直线y=ax（a≠0）交于A，B两点，点A的横坐标为3，
（1）则a的值为$\frac{1}{3}$；
（2）若平行于y=-x的直线经过点A，与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象交于另一点C，则△ABC的面积为8．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征结合点A的横坐标即可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a的值；
（2）过点A作AD⊥x轴交AB于点D，设直线AC的解析式为y=-x+b，根据点A的坐标即可求出直线AC的解析式，联立直线AC与反比例函数解析式成方程组即可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，结合三角形的面积即可求出△ABC的面积，此题得解．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为3且点A在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴点A的坐标为（3，1），
又∵点A在直线y=ax上，
∴1=3a，解得：a=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．
（2）过点A作AD⊥x轴交AB于点D，如图所示．
设直线AC的解析式为y=-x+b，
∵点A在直线AC上，
∴1=-3+b，解得：b=4，
∴直线AC的解析式为y=-x+4．
联立直线AC与反比例函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（1，3）．
当x=1时，y=$\frac{1}{3}$x=$\frac{1}{3}$，
∴点D的坐标为（1，$\frac{1}{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与直线y=ax（a≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（3，1），
∴点B的坐标为（-3，-1）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{1}{3}$）×[3-（-3）]=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）根据点A的坐标求出直线AC的解析式．