Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CD，如图1所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中， ，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF为等腰直角三角形．

∵O为EF的中点，GO=OD，

∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四边形EDFG是正方形

（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，

∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．

∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．

【解析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键．