Question

【题目】在△ABC中，D为BC边上一点．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．
①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB=4 ，BC=6，∠B=45°，则CD的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：点D如图所示．（作∠CAB的角平分线即可）

（2）解：①点D如图所示．（过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于E，作∠CEB的角平分线即可）

②如图②中，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，DB= x，
∵BC=6，
∴x+ x=6，
∴x=6 ﹣6，
如图③中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，

在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x﹣2，DE=x，
∴x2=42+（x﹣2）2 ，
∴x=5，
综上可知，CD的最大值为5，最小值为6 ﹣6，
∴6 ﹣6≤CD≤5，
故答案为6 ﹣6≤CD≤5
【解析】（1）作∠CAB的角平分线即可；（2）①过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于E，作∠CEB的角平分线即可；②在如图②中，求出CD的最小值，在如图③当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，求出CD可得CD的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．