Question

【题目】如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．
（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；
（2）若∠CDE=30°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，

∴BF=CE，

在△BCF和△CDE中， ，

∴△BCF≌△CDE（SAS），

∴DE=CF

（2）解：设CE=x，∵∠CDE=30°，

∴tan∠CDE= = ，

∴CD= x，

∵正方形ABCD的边BC=CD，

∴BE=BC﹣CE= x﹣x，

∵正方形BFGE的边长BF=BE，

∴tan∠BCF= = = ，

∵正方形BGFE对边BC∥GF，

∴∠BCF=∠GFH，

∵tan∠GFH= ，

∴ =

【解析】（1）根据线段中点的定义可得BE=CE，再根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF；（2）设CE=x，根据∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，从而得到∠BCF的正切值，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根据等角的正切值相等解答即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)．