Question

7．正方形ABCD的边长为6cm，点Q在边BC上，BQ=2QC．
（1）求BQ的长；
（2）如果点P是对角线BD上的一点，且PQ+PC的值最小，请画图确定P的位置并加以证明；
（3）求PQ+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知QB=$\frac{2}{3}BC$，从而可求得BQ的长度；
（2）由两点之间线段最短，将两线段的长度之和转化为线段AQ的长度；
（3）利用勾股定理求得AQ的长度即可．

解答 解：（1）∵BQ=2QC，
∴BQ=$\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}×6=4$．
（2）如图所示．连接AQ交BD于点P．

证明：连接PC．
∵四边形ABCD为正方形，
∴点A和点C关于BD对称．
∴PC=PA．
∴PQ+PC=PA+PQ．
由两点之间线段最短可知当点P在选段AQ上时，PQ+PC有最小值，最小值为AQ的长．
（3）在Rt△ABQ中，AQ=$\sqrt{A{B}^{2}+B{Q}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查的轴对称--路径最短问题、正方形的性质、勾股定理的应用，将PQ+PC转为AQ的长度是解题的关键．