Question

12．如图，四边形OABC的边OA，OC分别在y轴、x轴的正半轴，且OA=OC=3，∠OCB=90°，AB=$\sqrt{10}$．
（1）直接写出四边形OABC的面积为7.5；
（2）点D在x轴上，且∠BAD=90°，则点D的坐标是（-1，0）；
（3）点P在x轴上，且∠APO=∠BPC，请画出点P，并直接写出点P的坐标为（1.8，0）．

Answer 1

分析 （1）过B作BE⊥OA于E，根据矩形的判定可得四边形BEOC是矩形，根据勾股定理可得AE=1，则OE=BC=OA-AE=2，根据梯形的面积公式可求四边形OABC的面积；
（2）根据待定系数法可求直线AB的解析式，根据互相垂直的两条直线的关系，根据待定系数法可求直线AD的解析式，进一步得到点D的坐标；
（3）设点P的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质可得比例式$\frac{3}{m}$=$\frac{2}{3-m}$，解得m=1.8．从而得到点P的坐标．

解答 解：（1）过B作BE⊥OA于E，
∵∠OCB=90°，
∴四边形BEOC是矩形，
∴OE=BC，BE=OC=3，
∴AB²=AE²+BE²，
即：（$\sqrt{10}$）²=AE²+3²，
∴AE=1，
∴OE=BC=OA-AE=2，
∴四边形OABC的面积为（2+3）×3÷2=7.5．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3，
设直线AD的解析式为y=3x+b₁，则
3=0+b₁，解得b₁=3，
故直线AD的解析式为y=3x+3，
当y=0时，0=3x+3，解得x=-1，
则点D的坐标是（-1，0）；

（3）设点P的坐标为（m，0），则
$\frac{3}{m}$=$\frac{2}{3-m}$，
解得m=1.8．
则点P的坐标为（1.8，0）．
故答案为：7.5；（-1，0）；（1.8，0）．

点评 考查了矩形的判定，勾股定理，梯形的面积，待定系数法求直线解析式，互相垂直的两条直线的关系，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．