如图所示.已知直线y=kx+m与x轴.y轴分别交于A.C两点.抛物线y=-x2+bx+c经过A.C两点.点B是抛物线与x轴的另一个交点.当x=-$\frac{1}{2}$时.y取最大值$\frac{25}{4}$,(1)求抛物线和直线的解析式,(2)设点P是直线AC上一点.且S△ABP:S△BPC=1:3.求点P的坐标,(3)若直线与 y=$\frac{1}{2}$x+a(1)中所求的抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=-$\frac{1}{2}$时，y取最大值$\frac{25}{4}$；
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）若直线与 y=$\frac{1}{2}$x+a（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$）

分析（1）先根据抛物线y=-x²+bx+c，当x=-$\frac{1}{2}$时，y取最大值$\frac{25}{4}$，得到抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{25}{4}$），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的坐标，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标；
②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧），则x_M、x_N是方程x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，x_M+x_N=-$\frac{3}{2}$，x_M•x_N=a-6，进而求出y_M•y_N=$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²．
①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM²+ON²=MN²，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM²+ON²＜MN²，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．

解答解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c，
当x=-$\frac{1}{2}$时，y取最大值$\frac{25}{4}$，
∴抛物线的解析式是：y=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，即y=-x²-x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），
当y=0时，-x²-x+6=0，解得：x=2或-3，
即A点坐标是（-3，0），B点坐标是（2，0）．
将A（-3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=6}\end{array}\right.$．
则直线的解析式是：y=2x+6；

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴$\frac{\frac{1}{2}AP•BD}{\frac{1}{2}PC•BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH∥OC，
∴$\frac{PH}{OC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$=2x+6，
∴x=-$\frac{9}{4}$，
∴点P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）；
②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=-$\frac{9}{2}$，
∴点P（-$\frac{9}{2}$，-3）．
综上所述，点P的坐标为（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{9}{2}$，-3）；

（3）设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧）．
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={x}_{M}}\\{{y}_{1}={y}_{M}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{N}}\\{{y}_{2}={y}_{N}}\end{array}\right.$为方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+a}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$的解，
由方程组消去y整理，得：x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0，
∴x_M、x_N是方程x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0的两个根，
∴x_M+x_N=-$\frac{3}{2}$，x_M•x_N=a-6，
∴y_M•y_N=（$\frac{1}{2}$x_M+a）（$\frac{1}{2}$x_N+a）=$\frac{1}{4}$x_M•x_N+$\frac{a}{2}$（x_M+x_N）+a²=$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM²+ON²=MN²，即${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$+${x}_{N}^{2}$+${y}_{N}^{2}$=（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化简得x_M•x_N+y_M•y_N=0，
∴（a-6）+$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²=0，
整理，得2a²+a-15=0，
解得a₁=-3，a₂=$\frac{5}{2}$，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=$\frac{5}{2}$；
②∵∠MON＞90°，
∴OM²+ON²＜MN²，即${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$+${x}_{N}^{2}$+${y}_{N}^{2}$＜（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化简得x_M•x_N+y_M•y_N＜0，
∴（a-6）+$\frac{1}{4}$（a-6）-$\frac{3}{4}$a+a²＜0，
整理，得2a²+a-15＜0，
解得-3＜a＜$\frac{5}{2}$，
∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是-3＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．

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