Question

20．矩形ABCD中，AB=CD=18cm，以AB为边向上作正△ABE，AE、BE分别交CD于F、G，DF=5cm，两动点P、Q运动速度分别为4cm/s、v（cm/s）．
（1）AF的长为10 cm；
（2）若点P从A出发沿线段AB向B运动，同时点Q从B出发沿线段BE向点E运动，设运动时间为t（s），在运动过程中，以A、F、P为顶点的三角形和以P、B、Q为顶点的三角形全等，求Q的运动速度v；
（3）若点Q以（2）中的速度从点B出发，同时点P以原来的速度从点A出发，逆时针沿四边形ABGF运动．问P、Q会不会相遇？若不相遇，说明理由．若相遇，请求出经过多长时间P、Q第一次在四边形ABGF的何处相遇？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和等边三角形的性质即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出相等的线段，得出方程，解方程即可；注意讨论；
（3）分两种情况讨论，根据路程、时间、速度关系进行分析解答．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，
∴AB∥CD，AE=AB=18cm，
由对称性得：CG=DF=5cm，
∴FG=CD-DF-CG=8cm，AF=10cm，
∴EF=FG=8cm，
∴AF=AE-EF=10cm，
故答案为：10；

（2）解：又题意得：AP=4t，PB=18-4t，
①当△AFP≌△BPQ时，PB=AF，
即：18-4t=10，
∴t=2s，
此时：AP=4t=8cm=BQ，
2V=8，
∴V=4cm\s

②当△AFP≌△BQP时，AF=BQ，AP=PB，
即：4t=18-4t    解得：t=$\frac{9}{4}$s，
∵$\frac{9}{4}$V=10，∴V=$\frac{40}{9}$cm/s，

（3）解：①当Q的速度为V=4cm\s时，因为点P的速度也为4cm\s∴P，Q不会相遇
②当点Q的速度为V=$\frac{40}{9}$cm/s时，
∵$\frac{40}{9}$cm/s＞4cm/s，
∴点Q能追上点P
设：追上的时间为xs．
又∵P，Q沿逆时针运动，Q、P距离为28cm
根据题意得：$\frac{40}{9}$x-4x=28，
解得：x=63，
又∵P的速度为4cm\s，
∴P运动63s共走了：4×63=252cm
而P从A出发逆时针，沿四边形ABGF的边运动，转一圈为46cm
∵46×5+22=252cm，
∴P在沿四边形ABGF的边逆时针运动了5圈又运动了22cm后在BG边距点B 4cm处与点Q相遇（或距离点G6cm处与点Q相遇）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的性质、路程、时间、速度关系等知识；本题综合性强，有一定难度．