Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠CAB．求证：AB=AC+CD．

Answer 1

证明：过D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠ACB=90°，
∴∠C=∠DEA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED；
∴AC=AE，CD=DE；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠BDE=180°-90°-45°=45°
∴∠EDB=∠B，
∴CD=DE=EB；
∴AB=AE+EB=AC+CD．
分析：本题可通过构建全等三角形来求解．过D作DE⊥AB于E，那么可得出△ACD≌△AED，因此AC=AE，下面只需证明DE=BE，即可得出所求的结论．由于△ABC是等腰直角三角形，因此△BDE也是等腰直角三角形，即DE=BE，由此可得证．
点评：本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质；通过辅助线构建全等三角形将所求的线段联系到一起是解题的关键．