Question

【题目】在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．

（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”） “智慧三角形”；

（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；

（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）30；是；（2）证明见解析；（3）∠OAC的度数为80°或52.5°．

【解析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分∠ABC=3∠BAC、∠BCA=3∠BAC两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．

（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠MON=30°．

∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”．

故答案为：30；是；

（2）∠AOC=60°，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；

（3）∵∠ABO=30°，∴∠BAC+∠BCA=150°．

∵△ABC为“智慧三角形”，当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°，∴∠OAC=90°－10°=80°；

当∠BCA=3∠BAC时，∠BAC=37.5°，∴∠OAC=90°－37.5°=52.5°．

综上：当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数为80°或52.5°．