Question

1．已知抛物线C₁：y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，平移直线BC，至PQ，点P在对称轴上，点Q在第一象限的抛物线上，且CP=QB，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 根据函数解析式可以求得点A、B、C三点的坐标及对称轴的值，从而可得点Q的坐标，由点P在对称轴上，点Q在第一象限的抛物线上，且CP=QB，可以求得点Q的坐标，从而可以解答本题．

解答 解：∵y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
∴y=0时，x=1或x=3；x=0时，y=3；对称轴为：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$．
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）．
∵点P在对称轴上，点Q在第一象限的抛物线上，
∴设点P的坐标为（2，y），点Q的坐标为（x，x²-4x+3）．
∵CP=QB，
∴$\sqrt{（2-0）^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（{x}^{2}-4x+3-0）^{2}}$①．
∵平移直线BC，至PQ，
∴BC∥PQ．
∴$\frac{3-0}{0-3}=\frac{{x}^{2}-4x+3-y}{x-2}$②．
由①②解得，x=2+$\sqrt{3}$或x=2-$\sqrt{3}$或x=5．
∴当x=2+$\sqrt{3}$时，x²-4x+3=2；当x=2-$\sqrt{3}$时，x²-4x+3=2；当x=5时，x²-4x+3=8．
即点Q的坐标为（2+$\sqrt{3}$，2）或（2-$\sqrt{3}$，2）或（5，8）．

点评 本题考查坐标与图象的性质，解题的关键是可以求出各点的坐标，根据条件可以列出相应的方程，会解方程组．