Question

1．如图1，在直角坐标系中，直线y=x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y=kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，-2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC=∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（-1，-2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可分别用m表示出A、B的坐标，利用△AOB的面积可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）过F作FG⊥y轴于点G，可证得△CDF为等腰直角三角形，则可证得△CDO≌△DFG，则可求得FG和OG的长，可求得F点坐标；
（3）可分别求得点P落在AO边上和落在AB边上时的对应的时间，则可求得P在△ABO内部时t的取值范围．

解答 解：
（1）由题意可知A、B坐标分别为（-m，0）、（0，-m），
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}AO•BO=\frac{1}{2}{m^2}=8$，解得m=±4，
又∵B点在y轴正半轴，即m＞0，
∴m=4；
（2）如图，作FG⊥y轴于G，由题意可知OC=3，

设∠AEC=∠CDO=x°，
则∠FCO=∠ACE=135°-x°，∠OCD=90°-x°，∠DCF=135°-x°-（90°-x°）=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD=DF，
∵∠OCD+∠ODC=∠ODC+∠FDG=90°，
∴∠OCD=∠FDG，
在△CDO和△DFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠FDG}\\{∠COD=∠FGD}\\{CD=FD}\end{array}\right.$
∴△CDO≌△DFG（AAS），
∴OD=FG=2，DG=CO=3，
∴OG=OD+DG=5，
∴F（-2，-5）；
（3）当P点落在AO边上时，由题意得0-2t=-2，解得t=1；
当P点落在AB边上时，由题意得（-1-t）+m-2t=-2，由（1）可知，m=4，解得$t=\frac{5}{3}$；
∴若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），则t的取值范围为$1＜t＜\frac{5}{3}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识．在（1）中用m表示出△AOB的面积是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得OG和FG的长是解题的关键，在（3）中确定出P点的极端位置时的t的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．