Question

12．已知抛物线C₁：y=ax²+bx+$\frac{3}{2}$（a≠0）经过点A（-1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线C₁的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C₁沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C₂，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C₁上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得EF∥y轴，设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），则E（m，m+1），从而得出（m+1）-（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）=4，解方程即可求得F的坐标；
（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM=$\frac{EM}{EN}$=2；
②根据勾股定理和三角形相似求得EN=$\sqrt{10}$，然后根据三角形中位线定理即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y=ax²+bx+$\frac{3}{2}$（a≠0）经过点A（-1，0）和B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{3}{2}=0}\\{9a+3b+\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）；
（2）如图1，作CH⊥x轴于H，
∵A（-1，0），C（1，2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y轴，
∵DE=AC=2$\sqrt{2}$，
∴EF=4，
设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），则E（m，m+1），
∴（m+1）-（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）=4，
解得m=3（舍）或m=-3，
∴F（-3，-6）；
（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四边形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG=BC=AC=2$\sqrt{2}$，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EC}{EG}$，
∵F（-3，-6），EF=4，
∴E（-3，-2），
∵C（1，2），
∴EC=$\sqrt{（-3-1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=2，
∴tan∠ENM=$\frac{EM}{EN}$=2；
∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
②∵直角三角形EMN中，PE=$\frac{1}{2}$MN，直角三角形BMN中，PB=$\frac{1}{2}$MN，
∴PE=PB，
∴点P在EB的垂直平分线上，
∴点P经过的路径是线段，如图3，
∵△EGN∽△ECB，
∴$\frac{EN}{EB}$=$\frac{EG}{EC}$，
∵EC=4$\sqrt{2}$，EG=BC=2$\sqrt{2}$，
∴EB=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{EN}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，
∴EN=$\sqrt{10}$，
∵P₁P₂是△BEN的中位线，
∴P₁P₂=$\frac{1}{2}$EN=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
∴点M到达点C时，点P经过的路线长为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．