Question

1．梯形的两底之差为a，两腰为a、b，若梯形内可作一内切圆，求梯形的面积．

Answer 1

分析 作AE∥CD交BC于点E，则四边形AECD是平行四边形，得出AE=CD=b，CE=AD，BC-AD=BC-CE=BE=a，作AF⊥BC于F，设EF=x则BF=a-x，由勾股定理求出AF，由圆外切四边形的性质得出AB+CD=AD+BC=a+b，即可得出梯形的面积．

解答 解：如图所示：
作AE∥CD交BC于点E，
则四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=b，CE=AD，BC-AD=BC-CE=BE=a，
作AF⊥BC于F，
设EF=x则BF=a-x，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，根据勾股定理得：
a²-（a-x）²=AF²①，b²-x²=AF²②，
由①②得：AF=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{2a}$，
∵四边形ABCD有内切圆，由圆外切四边形的性质得：
AB+CD=AD+BC=a+b，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{2a}$=$\frac{b（a+b）\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{4a}$．

点评 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、圆外切四边形的性质；本题综合性强，有一定难度．