Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．
（1）求点B，C，D的坐标；
（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；
（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为

1

2

时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：由题意可知AC=5，OA=3，根据勾股定理可知，OC=4，可知C点坐标，同理求出B点坐标，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D点坐标．
（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，∴点D的坐标（0，2）．
连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴点C的坐标为（4，0）；
同理可得点B坐标为（-4，0）．

（2）已知B，C，D三点坐标，设出解析式，代入即可求出函数解析式．
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

解得

a=- 1 8 b=0 c=2

∴所求的二次函数的解析式为y=-

1

8

x²+2；

（3）根据图象可知，正切为

1

2

，则∠cpf为直角，设出P点坐标，然后表示出CP，PF的长度，然后分情况讨论

PF

CP

=

1

2

还是

CP

PF

=

1

2

，或是两者都可，求出P点坐标．
设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，
且点F的坐标为（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，
①若

CP

PF

=

1

2

时，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②当

PF

CP

=

1

2

时，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求点P的坐标为（12，0）．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，
∴点D的坐标（0，2）．（1分）
连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴点C的坐标为（4，0）；（1分）
同理可得点B坐标为（-4，0）．（1分）

（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

（3分）
解得

a=- 1 8 b=0   c=2

∴所求的二次函数的解析式为y=-

1

8

x²+2；（1分）

（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，（1分）
且点F的坐标为（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，
①若

CP

PF

=

1

2

时，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②当

PF

CP

=

1

2

时，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），（1分）
所以所求点P的坐标为（12，0）．（1分）

点评：本题旨在考查圆在坐标中出现的问题，圆与抛物线交点问题，以及三角形中正切的概念．