Question

14．如图1，PQ为⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P，Q两点），设∠AOB=α．
（1）当α=60°时，判断线段AB所在的直线与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A，M时（如图2），若AM=1，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结AQ，证明△OAQ是等边三角形，得出∠OAQ=∠AQO=60°，AQ=OQ，证出AQ=QB，由三角形的外角性质和等腰三角形的性质得出∠B=∠BAQ=$\frac{1}{2}$∠AQO=30°，求出∠OAQ=90°，即可得出结论；
（2）当点A在Q点时，易得α=0°，当点A为切点，由（1）得α=60°，于是可判断线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．
（3）连接OM，证明△AOM是等边三角形，得出∠AOM=60°，作ON⊥AB于N，则AN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$，求出ON=$\sqrt{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，阴影部分的面积=扇形AOM的面积-△AOM的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）线段AB所在的直线与圆O相切；理由如下：
连结AQ，如图1所示：
∵∠AOB=α=60°，OA=OQ，
∴△OAQ是等边三角形，
∴∠OAQ=∠AQO=60°，AQ=OQ，
∵OQ=QB，
∴AQ=QB，
∴∠B=∠BAQ=$\frac{1}{2}$∠AQO=30°，
∴∠OAQ=60°+30°=90°，
∴线段AB所在的直线与圆O相切；
（2）当点A在Q点时，α=0°，
当点A为线段AB的所在的直线与⊙O相切时切点，
由（1）得α=60°，
所以当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．
（3）连接OM，如图2所示：
∵AM=1，OQ=OA=1，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AOM=60°，
作ON⊥AB于N，
则AN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\sqrt{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴阴影部分的面积=扇形AOM的面积-△AOM的面积=$\frac{60•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了扇形的面积公式．