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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=4,OC=3,且顶点A、C均在坐标轴上,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动;点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动,当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,过点N作NPBC交BO于点P,连接MP.

(1)直接写出点B的坐标,并求出点P的坐标(用含x的式子表示);

(2)设OMP的面积为S,求S与x之间的函数表达式;若存在最大值,求出S的最大值;

(3)在两个动点运动的过程中,是否存在某一时刻,使OMP是等腰三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)B(4,3).P(x, x);(2)S=x2+x(0<x<4), 最大值为;(3)存在,x的值为秒或秒或秒.

【解析】

试题分析:(1)根据矩形OABC中OA=4,OC=3以及矩形的性质,得出B点坐标,再由PGAB,得出OPG∽△OBA,利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标;(2)利用PG以及OM的长表示出OMP的面积,再根据二次函数的性质求出最大值即可;(3)OMP是等腰三角形时,分三种情况:PO=PM;OP=OM;OM=PM.画出图形,分别求出即可.

试题解析:(1)矩形OABC中,OA=4,OC=3,B点坐标为(4,3).如图,延长NP,交OA于点G,则PGAB,OG=CN=x.PGAB,∴△OPG∽△OBA,,即=,解得:PG=x,点P的坐标为(x, x);(2)OMP中,OM=4x,OM边上的高为x,S=(4x)x=x2+x,S与x之间的函数表达式为S=x2+x(0<x<4).配方,得S=(x2)2+当x=2时,S有最大值,最大值为;(3)存在某一时刻,使OMP是等腰三角形.理由如下:如备用图1,过点P作PGAO于点G,若PO=PM,则OG=GM=CN=x,即3x=4,解得:x=如备用图2,过点P作PGAO于点G,若OP=OM,CN=x,则OP= OM= 4x,由勾股定理,得OB===5,NPOC,,即OP=x,即x=4x,解得:x=如备用图3,过点P作PQOA,垂足为Q,若OM=PM时,则PM=OM=4x,OQ=CN=x,则MQ=x-(4-x)=2x4,在RtMPQ中,PQ2+QM2=MP2,即(x)2+(2x4)2=(4x)2,解得:x=,综上所述,当x的值为秒或秒或秒时,OMP是等腰三角形.

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