Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．

（1）求点C的坐标及k的值；

（2）直接写出正方形EFGH的边长．

Answer 1

【答案】（1）点C坐标为（1，0），k=6；（2）2﹣2

【解析】

（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．求得点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，根据勾股定理得到A B＝＝＝5，结合四边形ABCD是菱形，求得点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，于是得到结论；

（2）设正方形EFGH的边长为a，得到E（﹣，a+4），得到H（，a+4），根据正方形的性质列方程解得a＝2﹣2，（负值舍去）．于是得到结论．

（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．

∴点A的坐标为（﹣1，4），

过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，

∴∠A MB＝∠DNC＝90°，

∴AM∥DN．

则MO＝1，AM＝4．

∵点B（﹣4，0），

∴OB＝4，BM＝BO﹣MO＝3．

在Rt△ABM中，A B＝＝＝5，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝AB=5，四边形AMND是矩形，

∴MN＝AD=5， DN＝AM＝4，OC＝BC﹣BO＝5﹣4＝1，ON＝MN﹣M0＝5﹣1＝4．

∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），

把点D（4，4）代入y＝中，得k＝16；

（2）设正方形EFGH的边长为a，

则∵E点反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，

∴E（﹣，a+4），

∵H点在y＝的图象上，

∴H（，a+4），

∴﹣（﹣）＝a，

解得：a＝2﹣2，（负值舍去）．

∴正方形EFGH的边长为2﹣2．