Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（-1，0），抛物线的对称轴是直线．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，线段EF的长度最长？

（3）在抛物线是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）当E(2，2)， AC的中点时，线段EF的长度最长；（3）存在，(2，6)或(﹣2，﹣6)

【解析】

（1）把B点坐标和对称轴代入解析式即可求解；

（2）先求出A,C的坐标，进而求出直线AC的解析式，E（n，-n+4），则F（n，-n2+3n+4），再表示出EF关于n的二次函数故可求解；

（3）分当以C为直角顶点时和点A为直角顶点时，根据等腰直角三角形的特点分别列方程求解．

解：（1）∵B（-1，0），抛物线的对称轴是直线．

∴

解得

∴y=﹣x2+3x+4；

（2）令x=0，得y=4

∴C（0，4）

令y=﹣x2+3x+4=0

解得x1=4,x2=-1

∴A（4，0），

设直线AC的解析式为y=px+q

把A（4，0），C（0，4）代入得

解得

∴直线AC的解析式为:y=-x+4

设E（n，-n+4），则F（n，-n2+3n+4）

∴EF=-n2+3n+4- (-m+4)= -n2+4n= -(n-2)2+4

∴当n=2时，线段EF的长度最长，

此时E（2，2），即为AC的中点的位置；

（3）存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），

则m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），

则 -n+4=-(-n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）．