Question

【题目】如图1，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为，其对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使面积最大时点的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点满足以点、、、为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或

【解析】

（1）设出抛物线的顶点式，将顶点C的坐标和原点坐标代入即可；

（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式，过点作轴交于点，设，则，然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出面积与m的关系式，利用二次函数求最值，即可求出此时点D的坐标；

（3）先证出为等边三角形，然后根据P点的位置和菱形的顶点顺序分类讨论：①当点与点重合时，易证：四边形是菱形，即可求出此时点P的坐标；②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，易证：四边形是菱形，先求出，再根据锐角三角函数即可求出BP，从而求出此时点P的坐标.

（1）解：设抛物线解析式为，

∵顶点

∴

又∵图象过原点

∴解出：

∴即

（2）令，即，解出：或

∴

设直线AC的解析式为y=kx＋b

将点，的坐标代入，可得

解得：

∴

过点作轴交于点，

设，则

∴

∴

∴当时，有最大值

当时，

∴

（3）∵，，

∴

∴

∴为等边三角形

①当点与点重合时，

∴四边形是菱形

∴

②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，

∴四边形是菱形

∴点是的角平分线与对称轴的交点，

∴，

∵，.

在Rt△OBP中，

∴

综上所述，点的坐标为或