Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD　 　∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD

（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．

Answer 1

【答案】（1）＝，见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）线段CP的长为1或3

【解析】

（1）证出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（3）分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易证△AQD∽△DCP，得出对应边成比例，即可得出CP＝1；②点D在线段BC延长线上运动时，同理得出CP＝3．

（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：

∵四边形ADEF是正方形

∴∠DAF＝90°，AD＝AF

∵AB＝AC，∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°

∴∠BAD＝∠CAF

故答案为：＝

②在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF＝BD

∴∠B＝∠ACF

∴∠B+∠BCA＝90°

∴∠BCA+∠ACF＝90°

∴∠BCF＝90°

∴CF⊥BD

（2）如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：

过点A作GA⊥AC交BC于点G

则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD

∵∠ACB＝45°

∴∠AGD＝45°

∴AC＝AG

在△GAD和△CAF中，，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°

∴CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，如图3所示：

∵∠BCA＝45°

∴△ACQ是等腰直角三角形

∴AQ＝CQ＝AC＝4

∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2

∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°

∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°

∴∠DAQ＝∠PDC

∵∠AQD＝∠DCP＝90°

∴△DCP∽△AQD

∴＝，即＝

解得：CP＝1

②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：

∵∠BCA＝45°

∴AQ＝CQ＝4

∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6

∵AQ⊥BC于Q

∴∠Q＝∠FAD＝90°

∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D

∴∠ADQ＝∠AFC′

则△AQD∽△AC′F

∴CF⊥BD

∴△AQD∽△DCP

∴＝，即＝

解得：CP＝3

综上所述，线段CP的长为1或3．